Prova di verifica
Limiti di successioni

Fila A

Problema

Considera la successione così definita ricorsivamente: .

a.	Dimostra per induzione che è una progressione geometrica. Determina il termine generale.
b.	Calcola .
c.	Esprimi in funzione di  il termine generale della successione  definita da  e calcola  e .
d.	Stabilisci se la successione  è una progressione aritmetica o geometrica, individuane il primo termine e la ragione, poi calcola , essendo .
e.	Dopo avere determinato il termine generale  della successione definita da , stabilisci se è una progressione aritmetica o geometrica, individuane il primo termine e la ragione, poi calcola .

Quesiti

1.	Sia  un triangolo equilatero.
Costruiamo il triangolo  i cui vertici sono tali che .

a.	Dimostra che il triangolo  è anch’esso equilatero e che .
b.	Ripetendo sul triangolo  la stessa costruzione effettuata su , si ottiene un nuovo triangolo . Su questo può essere nuovamente ripetuta la costruzione ottenendo un nuovo triangolo  e così via.
Sia  la successione delle aree dei triangoli , , ..., . Dimostra che è una progressione geometrica e determina il suo termine generale supponendo che il lato  misuri 6.
2.	Calcola il limite .
3.	Dimostra che la successione, così definita ricorsivamente: , è convergente e calcola il suo limite per .
4.	Studia la successione  e calcolane il limite per  nei casi in cui non è irregolare.
5.	Dimostra per induzione che  e deduci la somma della serie .

Prova di verifica
Limiti di successioni

Fila B

Problema

Considera la successione così definita ricorsivamente .

a.	Dimostra per induzione che è una progressione aritmetica. Determina il termine generale.
b.	Calcola , essendo .
c.	Stabilisci se la successione  è una progressione aritmetica o geometrica, individuane il primo termine e la ragione, poi calcola .
d.	Esprimi in funzione di n il termine generale della successione  definita da  e calcola  e .
e.	Dopo avere determinato il termine generale  della successione definita da , stabilisci se è una progressione aritmetica o geometrica, individuane il primo termine e la ragione, poi calcola .

Quesiti

1.	Sia  un triangolo equilatero.
Costruiamo il triangolo  i cui vertici sono tali che .

a.	Dimostra che il triangolo  è anch’esso equilatero e determina la lunghezza del suo lato.
b.	Ripetendo sul triangolo  la stessa costruzione effettuata su  si ottiene un nuovo triangolo . Su questo può essere nuovamente ripetuta la costruzione ottenendo un nuovo triangolo  e così via.
Sia  la successione delle aree dei triangoli , , , . Dimostra che è una progressione geometrica e determina il suo termine generale supponendo che il lato  misuri 8.
2.	Calcola il limite .
3.	Dimostra che la successione, così definita ricorsivamente  è convergente e calcola il suo limite per .
4.	Studia la successione  e calcolane il limite per  nei casi in cui non è irregolare.
5.	Dimostra per induzione che  e deduci la somma della serie .