Limite finito di una funzione per x che tende ad un valore finito
Author: Simona "Mathmum" Riva

Nella visualizzazione grafica del limite, muovendo lo slider ε è possibile vedere come si modificano gli intorni della definizione al variare del parametro ε.
Il grafico mostra inoltre la posizione di f(x) al variare di x (provate a spostare il punto x), nell'intervallo in cui è verificato il limite.

$x_0$

\displaystyle{\lim_{x \to x_0}f(x) = \ell}

$y=f(x)$

$\ell + \epsilon$

$x_0 + \delta$

$\ell$

$\ell - \epsilon$

.

\forall ε>0 \:\:\: \exists\: δ>0\:\:\: t.c. \:\:\:\forall x : 0<|x-x_0|<δ\:\:\rightarrow \:\:|f(x)-\ell|<ε

$x_0-\delta$

.

$x$

$V(∞)$

$f(x)$

Muovi il punto verde nell'intorno del punto x_0
e osserva come il valore di f(x) si mantiene nella
striscia centrata nel valore limite e di semiampiezza ε,
che puoi modificare utilizzando lo slider.

Istruzioni

ε = 1 (slider from 0 to 2, step 0.1)
A = (3, 0)
f(x) = (0.03 * x^(2)) + (0.4 * x) + 1
L: (x(A), f(x(A)))
U_2: (0, y(L) + ε)
g = OrthogonalLine(U_2, yAxis)
D_1, D_2 = Intersect(f, g)
D: (x(D_2), 0)
D' = Mirror(D, A)
B: (0, y(L))
a = Segment(L, A)
b = Segment(L, B)
U_1: (0, y(L) - ε)
c = Segment(U_1, U_2)
d = OrthogonalLine(U_1, yAxis)
C_1, C_2 = Intersect(f, d)
l = Segment(C_2, U_1)
i = Segment(U_2, D_2)
C: (x(C_2), 0)
e = Segment(C_2, C)
h = Segment(D_2, D)
j = Segment(C, D)
E = Point(j)
F: (x(E), f(x(E)))
k = Segment(F, E)
m = OrthogonalLine(F, c)
G = Intersect(m, yAxis)
n = Segment(G, F)
o(y) = y(U_1)  <  y  <  y(U_2)
p(x) = If[x(C_2)  <  x  <  x(D_2),f(x)]
q(x) = x(C)  <  x  <  x(D)
O = (0, 0)
s = false