Prova di verifica
Lo studio di funzione

Fila A

Problema

Considera la famiglia di funzioni:

a.	Dimostra che i grafici delle funzioni della famiglia passano tutti per uno stesso punto P, di cui si chiedono le coordinate.
b.	Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero delle intersezioni dei grafici delle funzioni della famiglia con l’asse x.
c.	Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero dei punti di estremo relativo dei grafici delle funzioni della famiglia e scrivi l’equazione cartesiana del luogo dei punti di estremo relativo. Verifica che il punto P appartiene al luogo e che è un punto di minimo relativo.
d.	Dimostra che i grafici delle funzioni della famiglia hanno almeno un punto di flesso.
e.	Determina il valore di k in modo che il grafico della funzione abbia un minimo nel punto di ascissa , poi traccia il grafico della corrispondente funzione , tralasciando lo studio di , e determina le coordinate dei suoi punti di intersezione con l’asse x, A e B, con .
f.	Scrivi l’equazione della circonferenza tangente in A al grafico della funzione studiata nel punto precedente e passante per B.
g.	Deduci dal grafico della funzione studiata nel punto e. quello di .

Quesiti

1.	In figura è tracciato il grafico di .

a.	Deduci il grafico di .
b.	Deduci il grafico di .
c.	Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero di soluzioni dell’equazione .

2.	Determina il dominio della funzione . Per quali valori di x la funzione non è derivabile?
3.	Dopo avere determinato le soluzioni dell’equazione  con due cifre decimali esatte, scrivi le equazioni degli asintoti della funzione .
4.	Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere, giustificale, altrimenti esibisci un controesempio. Supponi che  sia una funzione derivabile in R.
a.	Se il grafico della funzione  ha un asintoto obliquo di equazione , e se esiste il , allora .
b.	Se la funzione  è positiva e strettamente crescente nel suo dominio, anche  lo è.
c.	Se  e , allora  è un punto di estremo relativo per la funzione .
d.	La funzione  non è mai derivabile nei punti in cui il grafico della funzione  attraversa l’asse x.
e.	La funzione  ha lo stesso dominio della funzione .
5.	In una circonferenza  di raggio unitario considera una corda AB e i due triangoli isosceli ABC e ABD in essa inscritti e aventi AB come base comune e altezze rispettivamente CH e DH con . Posto , esprimi in funzione di x la differenza tra le aree di ABC e ABD, poi traccia il grafico completo della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.

Prova di verifica
Lo studio di funzione

Fila B

Problema

Considera la famiglia di funzioni:

a.	Dimostra che i grafici delle funzioni della famiglia passano tutti per uno stesso punto P, di cui si chiedono le coordinate.
b.	Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero delle intersezioni dei grafici delle funzioni della famiglia con l’asse x.
c.	Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero dei punti di estremo relativo dei grafici delle funzioni della famiglia e scrivi l’equazione cartesiana del luogo dei punti di estremo relativo. Verifica che il punto P appartiene al luogo e che è un punto di massimo relativo.
d.	Dimostra che i grafici delle funzioni della famiglia hanno almeno un punto di flesso.
e.	Determina il valore di k in modo che il grafico della funzione abbia un massimo di ascissa , poi traccia il grafico della corrispondente funzione , tralasciando lo studio di  e determina le coordinate dei suoi punti A e B, con , di intersezione con l’asse x.
f.	Scrivi l’equazione della circonferenza tangente in A al grafico della funzione studiata nel punto precedente e passante per B.
g.	Deduci dal grafico della funzione studiata nel punto e. quello di .

Quesiti

1.	In figura è tracciato il grafico di .

a.	Deduci il grafico di .
b.	Deduci il grafico di .
c.	Discuti, al variare di k, l’esistenza e il numero di soluzioni dell’equazione .
2.	Determina il dominio della funzione . Per quali valori di x la funzione non è derivabile?
3.	Dopo avere determinato le soluzioni dell’equazione  con almeno due cifre decimali esatte, scrivi le equazioni degli asintoti della funzione .
4.	Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere, giustificale, altrimenti esibisci un controesempio. Supponi che  sia una funzione derivabile in R.
a.	Se , allora la funzione  ha un asintoto obliquo di coefficiente angolare m.
b.	Se la funzione  è strettamente crescente in tutto il suo dominio, anche  lo è.
c.	Se la funzione , derivabile nel suo dominio, ha un punto di massimo in  ed è diversa da zero, allora la funzione  ha in  un punto di minimo.
d.	La funzione  non è mai derivabile nei punti in cui il grafico della funzione  incontra l’asse x.
e.	La funzione  ha lo stesso dominio della funzione .
5.	Su una semicirconferenza di diametro , considera un punto P. Posto , esprimi in funzione di x la misura della distanza di P dal diametro AB e traccia il grafico completo della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema